Ярославская математическая школа

Новости и анонсы

Гостевая
Сообщество
Написать письмо

XIV Турнир матбоев:

НКРЗ:

Турниры:

Разное:

I этап
1. Расставьте по кругу числа 14, 27, 36, 57, 178, 467, 590, 2345 так, чтобы любые два соседних числа имели общую цифру.
2. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две равные части. (Части должны быть одинаковы не только по площади, но и по форме.)
   
3. На рисунке изображено родословное дерево одной семьи, родоначальником которой был Иван Фёдорович. Вот все его потомки: Иван Петрович, Иван Сергеевич, Василий Иванович, Василий Петрович, Сергей Николаевич, Николай Иванович, Илья Николаевич, Пётр Иванович. Установите, как звали каждого из потомков Ивана Фёдоровича, изображённых на рисунке.
   
4. Из пятерых детей некоторые всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. Серёжа сказал Никите, а потом Вите: "Ты правдивый парень". После этого он сказал Саше, а затем Паше: "Ты лгун!" Кем (правдивым или лгуном) назвал бы остальных детей Паша? Обоснуйте свой ответ.
   II этап
5. Программист Костя написал натуральное число от 1 до 9, умножил его на 6, затем от получившегося числа оставил только последнюю цифру. Её он разделил на 2 и прибавил к результату 6. Получившееся число Костя умножил на пять и затем отнял 3. После этого он у результата стёр все цифры кроме последней. Какое наибольшее число погло получиться в результате? Обоснуйте свой ответ.
6. У фокусника есть 10 карточек. Он готовит следующий фокус. Зритель называет число от 30 до 60, а фокусник показывает три карточки, сумма чисел на которых равна числу, названному зрителем. Помогите фокуснику - приведите числа, которые фокусник может написать на карточках, чтобы фокус удался.

I этап
1. На клетчатом листе бумаги нарисован квадрат 5 на 5 клеточек. Покажите, как его разрезать на 4 части так, чтобы из них можно было сложить фигурку, изображенную на рисунке.
   
2. Выпишите семь натуральных чисел в ряд так, чтобы соседние числа отличались на единицу, а сумма всех чисел равнялась 35.
3. Можно ли в клетки квадрата 3?3 вписать буквы А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И так, чтобы среди шести буквосочетаний, написанных в столбцах и строках (соответственно слева направо и сверху вниз), были такие: ГДБ, ЕЗИ, АЖВ, ДВЗ? Обоснуйте свой ответ.
4. Два лыжника шли друг за другом с одинаковой скоростью 12 км/ч. Начался трудный участок, на котором скорость упала до 8 км/ч. Когда оба лыжника вошли на этот участок, расстояние между ними оказалось на 300 м меньше первоначального. Какое расстояние между лыжниками было вначале?
   II этап
5. Винни-Пух, Пятачок и Сова решили подарить на день рождения Иа-Иа много воздушных шариков. Договорились, что Винни-Пух принесёт шариков в два раза меньше, чем Сова с Пятачком вместе; и что Сова принесет в три раза больше шариков, чем Пятачок. В итоге Иа-Иа подарили 20 шариков. Докажите, что не менее 4 шариков лопнуло по дороге.
6. Шестеро детей, среди которых есть идеально правдивые, а остальные - неисправимые лжецы, как-то высказали свои мнения друг о друге (каждый - о пяти других). Оказалось, что фраз "Ты правдив" всё же больше, чем фраз "Ты лжец". Сколько среди них правдивых? Приведите все варианты и объясните, почему других нет.

I этап
1. Разделите квадрат размером 6 x 6 клеток, изображенный на рисунке, на четыре одинаковые части так, чтобы каждая из них содержала три закрашенные клетки. Резать можно только по линиям сетки.
   
2. В равенстве ** + *** = **** все цифры заменены звездочками. Восстановите равенство, если известно, что каждое из трёх чисел не меняется при перестановке его цифр в обратном порядке. Приведите все возможные варианты.
3. У соседей Иванова и Петрова было в совокупности 50 домашних животных: кошек и мышей. После того, как каждая кошка Иванова съела по мышке Петрова, а каждая кошка Петрова скушала по мышке Иванова, мышей у обоих хозяев вместе осталось 10. При этом у Иванова поголовье животных уменьшилось вдвое, а у Петрова осталось две трети. Сколько каких животных было у каждого?
4. Встретились как-то шестеро Иных: четверо Светлых, которые всегда говорят правду, и двое Темных, которые всегда врут. Каждый из них, указав на кого-то другого, сказал, что тот Темный. Покажите, что после этого правдивый Инквизитор сможет определить хотя бы одного Темного.
   II этап
5. Андраш и Бэла играют в следующую игру. Они по очереди берут камни из кучи, не меньше 1 и не больше 7 каждый раз. Не разрешается брать столько же камней, сколько взял другой игрок на предыдущем ходе. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. В начале игры в куче было 14 камней. Первым ходит Андраш. Сколько камней он должен взять, делая первый ход, если он хочет наверняка выиграть игру?
6. На шахматной доске стоит 16 ладей. При этом они бьют все белые клетки. Докажите, что можно так убрать 8 ладей, чтобы оставшиеся по-прежнему били все белые клетки. (Ладья бьет все клетки, находящиеся с ней на одной вертикали или горизонтали.)